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Contexte - Objectifs - Méthodes - Participants - Actions en Cours - Mots Clés

Contexte

Des observations de terrain et de laboratoire, concernant le transport de matière en milieu poreux, signalent des écarts à la loi de Fick, donc au mouvement Brownien. En mileu insaturé, il s'agit apparemment de sous-diffusion: on observe que la densité de soluté décroit parfois très lentement, vraisemblablement selon une loi de puissance. Or les statistiques de Lévy on permis d'importants progrès dans la représentation de ce genre de phénomène. D'autre part, des méthodes non-intrusives (la spectrométrie X par exemple) permettent d'effectuer des mesures de traçage à l'échelle du mètre, alors que la résonance magnétique nucléaire (RMN) renseigne sur les mouvements de fluide à l'échelle du pore. Ces techniques mesurent des observables différentes, décrites de manière unifiée par des modèles stochastiques. Les outils appropriés d'analyse et d'inversion des données manquent cependant.

Objectifs

1. Discuter les conditions dans lesquelles la sous-diffusion est observée en milieu poreux insaturé, sur la base d'expériences (de traçage et de RMN) à des échelles diféfrentes, dans des milieux similaires.
2. Faire évoluer les outils de simulation des équations fractionnelles. Propser des méthodes adaptées pour déterminer les paramètres du transport.
3. Proposer des méthodes d'inversion adaptées aux effets de mémoire et aux observables mesurées en RMN.

Méthodes

On dispose d'un modèle stochastique pour représenter les mouvements de particules de traceur ou de fluide dans un milieu où, à cause de la matrice solide, la dispersion et la convection sont supposées pouvoir être interrompues pour des durées aléatoires. On suppose ces durées distribuées selon une loi de Lévy d'exposant γ entre 0 et 1 (qui représente la plus ou moins grande hétérogénéité de ces durées) et de facteur d'échelle Λ (qui tient compte à la fois de leur intensité et de la probabilité de s'arrêter). La densité de processus stochastique vérifie une équation aux dérivées partielles avec des dérivées (par rapport au temps) d'ordre non entier (le modèle MIM fractal, fractal Mobile-Immobile Model). Ce modèle a donc 2 versions : une version stochastique et l'e.d.p. Il fait intervenir 4 paramètres (la diffusivité, une vitesse moyenne, g et L ). L'e.d.p. est plus utile pour examiner les données de l'expérience de traçage, alors que le processus stochastique est mieux adapté pour interpréter l'expérience de RMN. En effet, celle-ci s'adresse à des distributions de déplacements, ou plus généralement à la distribution d'intégrales déterminées le long des trajectoires des molécules d'eau par le profil imposé à un gradient de champ magnétique. Pour cela on utilise la simulation numérique des e.d.p. fractionnaires, la simulation de Monte Carlo, et des résultats théoriques sur les statistiques des déplacements associées au modèle, ou sur la statistique d'intégrales de chemin.

Participants

Etablissements		Personnels
	CEA Saclay DEN-DANS-DPC-SECR-L3MR and DEN-DANS-DM2S-STMF-LATF	Christelle Latrille, Alain Cartalade and Boris Maryshev
	UMR 1114 Environnement Méditerrannéen et Modélisation des Agro-Hydrosystèmes, Université d'Avignon-Inra d'Avignon	Marie-Christine Néel, Maminirina Joelson, Solonjaka Hiarintsoa Rakotonasy
	IFP-énergies nouvelles, Laboratoire RMN du département Pétrophysique, direction Ingénierie de Réservoir, IFP Energies nouvelles	Daniela Bauer, Marc Fleury, Valentin Guillon, Souhail Youssef

Actions en cours

1. Traçage. au CEA Saclay, Christelle Latrille: Mesures de concentration d'un traceur injecté dans des colonnes remplies de sable non saturé. On maintient une saturation constante en chaque section, cependant cette saturation dépend de la position. Plusieurs répartitions sont étudiées. On tente de relier les paramètres du transport à la saturation.
2. Simulation et inversion de données
   1. CEA Saclay (Alain Cartalade) + EMMAH (Marie-Christine Néel): simulation d'e.d.p. Fractionnelles, méthode de l'état adjoint, méthode des moments temporels
   2. EMMAH: Simulation des incréments des mouvements Browniens subordonnés, Expression exacte de la fonction caractéristique, Distribution et fonction caractéristique d'intégrales du mouvement Brownien subordonné. Extension aux vols de Lévy subordonnés.
3. IFP (Marc Fleury)Résonance magnétique nucléaire: écho dû à un gradient de champ magnétique, mesures de propagateurs.
4. IFP (Daniela Bauer) Simulation des propagateurs dans un réseau de pores extrait par micro-CT du milieu dans lequel sont faites les mesures.

Mots Clés

• Résonance Magnétique Nucléaire
• Tests de traçage en colonnes
• Equations aux dérivées partielles Fractionnaires
• Simulation par réseau de Boltzmann
• Simulation en réseau de pores
• Méthode de l'état adjoint pour les équations aux dérivées partielles fractionnaires
• Mouvement Brownien subordonné
• Statistiques de Lévy's, vols de Lévy, subordinateurs de Lévy
• Equations du type de Feyman-Kac pour des processus non-Markoviens
• Fonctions de Mittag-Leffler

Zone de téléchargement avec accès restreint

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Publications en cours

• Feynman-Kac equation for convection-dispersion with mobile and immobile walkers [Télécharger]
• Rigorous derivation of Feynman-Kac equations for arrested dispersion [Télécharger]
• Transport study in unsaturated porous media by tracer experiment in a dichromatic X-ray experimental device. [Télécharger]
• Adjoint state method for fractional diffusion [Télécharger]

Rapports internes du CEA

• Etude du transport en milieu poreux simple insaturé. Relation de dépendance de la vitesse de pore et de la dispersivité en fonction de la teneur en eau. Réf : RT DPC/SECR 11-066 indice A. [Télécharger]
• Résolution d’un Modèle de Transport de Type Double-Porosité Par Méthode de Boltzmann sur Réseau à Multiple Temps de Relaxation et Application sur le Dispositif Expérimental BEETI. Référence DEN/DANS/DM2S/SFME/LSET/RT/11–002/A [Télécharger]